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\begin{document}

\section*{\large 机械工程控制基础主要知识点参考}
\footnotesize

\section{\small 常用拉氏变换}

$\displaystyle e^{at}\rightarrow \frac{1}{s-a}$;\qquad $\displaystyle \delta(t)\rightarrow 1$;\qquad $\displaystyle 1(t)\rightarrow \frac{1}{s}$;\qquad $\displaystyle \frac{1}{r!}t^r\rightarrow \frac{1}{s^{r+1}}$;\qquad $\displaystyle \sin\omega t\rightarrow \frac{\omega}{s^2+\omega^2}$;\qquad $\displaystyle \cos\omega t\rightarrow \frac{s}{s^2+\omega^2}$

\section{\small 典型环节}

比例环节：$G(s) = k$;\qquad 一阶惯性环节：$\displaystyle G(s) = \frac{1}{Ts+1}$;\qquad 微分环节：$G(s) = ks$;\qquad 积分环节：$G(s) = \frac{k}{s}$;\qquad 二阶振荡环节：$\displaystyle G(s) = \frac{1}{T^2s^2 + 2\xi Ts +1},\quad 0<\xi<1$

\section{\small 梅逊公式}

\begin{equation*}
P = \frac{1}{\Delta}\sum_k P_k\Delta_k
\end{equation*}

式中，$P$为系统总传递函数, $P_k$为第$k$条前向通路的传递函数, $\Delta$为信号流图的特征式，其计算方法为

\begin{equation*}
\Delta = 1 - \sum_a L_a + \sum_{b,c} L_bL_c - \sum_{d,e,f}L_dL_eL_f + \cdots
\end{equation*}

式中，$L_a$ 为独立回路的传递函数，$L_b,\ L_c$为两两互不相接触回路的传递函数，$L_d,\ L_e,\ L_f$为三三互不接触回路的传递函数, $\cdots$，$\Delta_k$为与第$k$条前向通路相接触的回路的传递函数取零时$\Delta$的余值。

\section{\small 环节的串并联}

环节串联后，总的传递函数等于每个串联环节传递函数之积；环节并联后，总的传递函数等于每个并联环节传递函数之和；具有反馈环节的传递函数（包括正负反馈）可通过梅逊公式轻易得出结论。

\section{\small 极坐标图}

极坐标图也称为乃氏图，是频率$\omega$由零趋于$\infty$时，频率特性函数$G(j\omega)$在复平面上对应的一系列点的连线，将幅频特性与相频特性统一在一张图上进行表示。频率特性函数的一般表达式为：

\begin{equation*}
G(j\omega) = \frac{K(j\omega\tau_1 + 1)(j\omega\tau_2 + 1)\cdots}{(j\omega)^{\lambda}(j\omega T_1+1)(j\omega T_2 +1)\cdots}
\end{equation*}

据此，幅频特性可表达为

\begin{equation*}
|G(j\omega)| = \frac{K\sqrt{1 + (\omega\tau_1)^2}\sqrt{1 + (\omega\tau_2)^2}\cdots}{\omega^{\lambda}\sqrt{1 + (\omega T_1)^2}\sqrt{1 + (\omega T_2)^2}\cdots}
\end{equation*}

相频特性可表达为

\begin{equation*}
\angle G(j\omega) = 0 + \tan^{-1} \omega\tau_1 + \tan^{-1} \omega\tau_2 + \cdots -\frac{\lambda\pi}{2} - \tan^{-1}\omega T_1 -\tan^{-1} \omega T_2 - \cdots
\end{equation*}

以上计算仅对最小相位系统（在右半平面上既无零点，也无极点）适用，对于非小相位系统，幅频特性计算时没有太大问题，但相频性计算时需特别注意。如对于微分环节$\pm 1 \pm j\omega\tau$，对应的相频表达式分别为

\begin{align*}
1 + j\omega\tau &\rightarrow \tan^{-1} \omega \tau\\
-1 + j\omega\tau &\rightarrow \pi - \tan^{-1} \omega \tau\\
-1 - j\omega\tau &\rightarrow \pi + \tan^{-1} \omega \tau\\
1 - j\omega\tau &\rightarrow -\tan^{-1} \omega \tau
\end{align*}

\section{\small 乃氏稳定判据}

对于非零型系统在使用乃氏稳定性时，可从原点的左侧或右侧（建议从右侧绕）用半径极小的半圆把原点绕开，如果从右侧绕，则原点不包括在右半平面，频率由$-\infty\rightarrow 0 \rightarrow +\infty$时，相角由$-\frac{\pi}{2} \rightarrow 0 \rightarrow + \frac{\pi}{2}$。将$s = \varepsilon e^{j\theta}$代入传递函数表达式，令$\varepsilon\rightarrow 0$时，得出系统的幅频和相频表达式，特别注意相频，然后决定无限半径的圆到底从左侧连接还是从右侧连接。

\section{\small 常用公式}
\subsection{\footnotesize 时域性能指标}

\begin{itemize}
\item 调整时间(settling time): $\displaystyle T_s = 4\tau = \frac{4}{\zeta\omega_n}\quad \text{for the response remains within 2\% of the final value} $.
\item 峰值时间(peak time): $\displaystyle T_p = \frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}$
\item 单位阶跃的峰值响应(peak response): $\displaystyle M_{pt}=1+e^{-\zeta\pi/\sqrt{1-\zeta^2}}$
\item 超调量(percent overshoot): $\displaystyle P.O.= 100e^{-\zeta\pi/\sqrt{1-\zeta^2}}$
\end{itemize}

\subsection{\footnotesize 频域性能指标}

\begin{itemize}
\item The relationship between resonant frequency and natural frequency $\omega_r = \omega_n\sqrt{1-2\zeta^2}$
\item The maximum value of the magnitude $|G(j\omega)|$,  $\displaystyle M_{p\omega} = |G(j\omega_r)| = \frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}}$
\end{itemize}

\subsection{\footnotesize 系统灵敏度}

System sensitivity is the ratio of the change in the system transfer function to the change of a process transfer function (or parameter) for a small incremental change.

$$S_G^T = \frac{\partial T/T}{\partial G/G} = \frac{\partial \ln T}{\partial \ln G} = \frac{\partial T}{\partial G}\cdot \frac{G}{T}$$

Transfer function of the system $T(s)$ is a fraction of the form usually, i.e., $T(s) = \frac{N(s,\alpha)}{D(s,\alpha)}$. So, 

$$S_{\alpha}^T = S_\alpha^N - S_{\alpha}^D$$

\end{document}
